1) 두 수를 유리수 지수로 나타내면 각각 \[A = \sqrt{2^{n-1}} = 2^{\frac{n-1}{2}}, \qquad B = \sqrt[3]{3^{n+1}} = 3^{\frac{n+1}{3}}\] 입니다.
2) \(A = 2^{\frac{n-1}{2}}\) 이 자연수가 되려면 지수 \(\dfrac{n - 1}{2}\) 이 \(0\) 이상의 정수여야 하므로, \(n\)은 홀수(\(n = 1, 3, 5, 7, 9, \dots\))여야 합니다.
3) \(B = 3^{\frac{n+1}{3}}\) 이 자연수가 되려면 지수 \(\dfrac{n + 1}{3}\) 이 자연수여야 하므로, \(n + 1\) 이 \(3\)의 배수(\(n = 2, 5, 8, 11, \dots\))여야 합니다.
4) 두 조건을 동시에 만족시키는 가장 작은 자연수 \(n\)은 \(m = 5\) 입니다.
5) \(n = 5\) 일 때 \(A = 2^{\frac{5-1}{2}} = 2^2 = 4\) 이고 \(B = 3^{\frac{5+1}{3}} = 3^2 = 9\) 이므로 두 자연수의 합은 \(4 + 9 = 13\) 입니다.

1) 증가함수 \(f(x) = 2^{x-1}\) 의 그래프와 그 역함수 \(y = f^{-1}(x)\) 의 그래프의 교점은 곡선 \(y = 2^{x-1}\) 과 직선 \(y = x\) 의 교점과 일치합니다.
2) 방정식 \(2^{x-1} = x\) 에서 \(x = 1\) 일 때 \(2^0 = 1\) 이고, \(x = 2\) 일 때 \(2^1 = 2\) 이며, 지수함수 \(y = 2^{x-1}\) 은 아래로 볼록하므로 직선 \(y = x\) 와 오직 두 점 \(\text{A}(1, 1),\; \text{B}(2, 2)\) 에서만 만납니다.
3) 따라서 선분 \(\text{AB}\)의 길이는 \(\overline{\text{AB}} = \sqrt{(2 - 1)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{2}\) 입니다.
4) 직선 \(\text{AB}\)의 방정식은 \(x - y = 0\) 이므로, 점 \(\text{C}(4, 0)\) 에서 직선 \(x - y = 0\) 에 이르는 거리 \(h\)는 \[h = \dfrac{|4 - 0|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \dfrac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}\] 입니다. 따라서 삼각형 \(\text{ABC}\)의 넓이는 \(\dfrac{1}{2} \times \overline{\text{AB}} \times h = \dfrac{1}{2} \times \sqrt{2} \times 2\sqrt{2} = 2\) 입니다.

1) 주어진 \(x\)에 대한 이차방정식이 실근을 가지려면 판별식 \(D \ge 0\) 이어야 합니다. \[\dfrac{D}{4} = (-\sin\theta)^2 - \left(\sin^2\theta - 2\sin\theta + 1\right) \ge 0\] 2) 좌변을 정리하면 \[2\sin\theta - 1 \ge 0 \implies \sin\theta \ge \dfrac{1}{2}\] 입니다.
3) \(0 \le \theta < 2\pi\) 에서 부등식 \(\sin\theta \ge \dfrac{1}{2}\) 의 해를 단위원 또는 사인함수의 그래프를 이용하여 구하면 \[\dfrac{\pi}{6} \le \theta \le \dfrac{5\pi}{6}\] 입니다.
4) 따라서 \(\alpha = \dfrac{\pi}{6},\; \beta = \dfrac{5\pi}{6}\) 이므로 구하는 값은 \(\beta - \alpha = \dfrac{5\pi}{6} - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{2\pi}{3}\) 입니다.

1) 외접원의 반지름의 길이가 \(R = 4\) 이므로 사인법칙에 의하여 변 \(\text{BC}\)의 길이는 \[\overline{\text{BC}} = 2R\sin A = 2 \times 4 \times \dfrac{\sqrt{7}}{4} = 2\sqrt{7}\] 입니다.
2) \(\angle\text{A}\)가 예각(\(0 \lt A \lt \dfrac{\pi}{2}\))이므로 \(\cos A > 0\) 입니다. \[\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - \dfrac{7}{16}} = \dfrac{3}{4}\] 3) \(\overline{\text{AC}} = b\) 라 하고 삼각형 \(\text{ABC}\)에 코사인법칙을 적용합니다. \[\overline{\text{BC}}^2 = \overline{\text{AB}}^2 + b^2 - 2 \cdot \overline{\text{AB}} \cdot b \cos A\] \[28 = 36 + b^2 - 2 \times 6 \times b \times \dfrac{3}{4} \implies b^2 - 9b + 8 = (b - 1)(b - 8) = 0\] 4) 조건 \(\overline{\text{AC}} = b > 4\) 에 의하여 \(\overline{\text{AC}} = 8\) 입니다.

1) \(T_n = \sum_{k=1}^{n} k a_k = n^3 + n^2\) 이라 하자. \(n = 1\) 일 때 \[1 \cdot a_1 = T_1 = 1^3 + 1^2 = 2 \implies a_1 = 2\] 입니다.
2) \(n \ge 2\) 일 때 \(n a_n = T_n - T_{n-1}\) 이므로 \[n a_n = (n^3 + n^2) - \left\{(n - 1)^3 + (n - 1)^2\right\} = (n^3 + n^2) - (n^3 - 3n^2 + 3n - 1 + n^2 - 2n + 1) = 3n^2 - n\] 입니다. 양변을 \(n\; (n \ge 2)\) 으로 나누면 \(a_n = 3n - 1\) 이며, \(n = 1\) 을 대입해도 \(a_1 = 2\) 로 성립하므로 모든 자연수 \(n\)에 대하여 \(a_n = 3n - 1\) 입니다.
3) 따라서 구하는 합은 \[\sum_{k=1}^{10} (3k - 1) = 3 \times \dfrac{10 \times 11}{2} - 10 = 165 - 10 = 155\] 입니다.

1) 조건 (가)에서 \(x \to \infty\) 일 때 분모가 \(x^2\) 이고 극한값이 \(-2\)로 수렴하므로 \(f(x) - x^3\) 은 최고차항의 계수가 \(-2\)인 이차식입니다. 또한 \(f(0) = 2\) 이므로 상수항은 \(2\)입니다. \[f(x) = x^3 - 2x^2 + ax + 2 \quad (a\text{는 상수})\] 2) 조건 (나)에서 \(x \to 1\) 일 때 분모가 \(0\)으로 수렴하므로 분자도 \(0\)으로 수렴해야 합니다. \[f(1) = 1 - 2 + a + 2 = a + 1 = 0 \implies a = -1\] 3) \(a = -1\) 일 때 \(f(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2 = (x - 1)(x + 1)(x - 2)\) 이며, 실제로 \(\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x)}{x - 1} = (1 + 1)(1 - 2) = -2\) 로 조건 (나)를 만족시킵니다.
4) 따라서 \(f(4) = (4 - 1)(4 + 1)(4 - 2) = 3 \times 5 \times 2 = 30\) 입니다.

1) 원의 중심 \((0, 2)\)에서 직선 \(3x - 4y + 3 = 0\) 에 이르는 거리 \(d\)를 점과 직선 사이의 거리 공식으로 구합니다. \[d = \dfrac{|3(0) - 4(2) + 3|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \dfrac{|-5|}{5} = 1\] 2) 원의 반지름의 길이 \(r\)와 거리 \(d = 1\) 의 대소 관계에 따라 원과 직선의 교점의 개수 \(f(r)\)는 다음과 같이 결정됩니다.
• \(0 \lt r \lt 1\) 일 때: 만나지 않으므로 \(f(r) = 0\)
• \(r = 1\) 일 때: 한 점에서 접하므로 \(f(1) = 1\)
• \(r > 1\) 일 때: 서로 다른 두 점에서 만나므로 \(f(r) = 2\)
3) 따라서 함수 \(f(r)\)는 \(r = 1\) 에서만 불연속이므로 \(a = 1\) 입니다.
4) \(\lim_{r \to 1^+} f(r) = 2\) 이고 \(f(1) = 1\) 이므로 \(\lim_{r \to a^+} f(r) - f(a) = 2 - 1 = 1\) 입니다.

1) 조건 \(f(2 - x) + f(2 + x) = 8\) 의 양변에 \(x = 0\) 을 대입하면 \(2f(2) = 8 \implies f(2) = 4\) 입니다. 즉 곡선 \(y = f(x)\) 는 점 \((2, 4)\)에 대하여 점대칭입니다.
2) 점 \((2, 4)\)에 대한 대칭성에 의하여, 함수 \(f(x)\)가 \(x = 0\) 에서 극댓값을 가지면 \(x = 2\) 에 대하여 \(x = 0\) 과 대칭인 점 \(x = 4\) 에서 극솟값을 갖습니다. \[f'(x) = 3x(x - 4) = 3x^2 - 12x\] 3) 이를 적분하고 \(f(0) = 20\) 을 대입하면 \[f(x) = x^3 - 6x^2 + 20\] 입니다. (이때 \(f(2) = 8 - 24 + 20 = 4\) 로 점대칭 조건을 정확히 만족합니다.)
4) 따라서 함수 \(f(x)\)의 극솟값은 \(f(4) = 64 - 96 + 20 = -12\) 입니다.

1) 정적분으로 정의된 함수 \(F(x)\)의 양변을 \(x\)에 대하여 미분하면 \[F'(x) = x^2 - 2x - 3 = (x + 1)(x - 3) = 0 \implies x = -1 \;\text{또는}\; x = 3\] 입니다.
2) 따라서 함수 \(F(x)\)는 \(x = -1\) 에서 극대이고, \(x = 3\) 에서 극소입니다. 부정적분을 직접 계산하면 \(F(0) = 0\) 이므로 \[F(x) = \left[\dfrac{1}{3}t^3 - t^2 - 3t\right]_{0}^{x} = \dfrac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x\] 입니다.
3) 닫힌구간 \([-2, 4]\) 에서의 극값과 양 끝점의 함숫값을 각각 구하여 비교합니다.
• \(F(-2) = -\dfrac{8}{3} - 4 + 6 = -\dfrac{2}{3}\)
• \(F(-1) = -\dfrac{1}{3} - 1 + 3 = \dfrac{5}{3}\) (최댓값 \(M\))
• \(F(3) = 9 - 9 - 9 = -9\) (최솟값 \(m\))
• \(F(4) = \dfrac{64}{3} - 16 - 12 = -\dfrac{20}{3}\)
4) 따라서 최댓값 \(M = \dfrac{5}{3}\), 최솟값 \(m = -9\) 이므로 \(M - m = \dfrac{5}{3} - (-9) = \dfrac{32}{3}\) 입니다.

1) \(f(x) = x^3 - 4x\) 라 하면 \(f'(x) = 3x^2 - 4\) 이므로, 점 \((1, -3)\) 에서의 접선의 기울기는 \(f'(1) = 3 - 4 = -1\) 입니다.
2) 따라서 점 \((1, -3)\) 에서의 접선의 방정식은 \[y - (-3) = -1(x - 1) \implies y = -x - 2\] 입니다.
3) 곡선과 접선의 교점의 \(x\)좌표를 구하기 위해 연립하면 \[x^3 - 4x = -x - 2 \implies x^3 - 3x + 2 = (x - 1)^2(x + 2) = 0\] 이므로 교점의 \(x\)좌표는 \(x = -2\) 와 \(x = 1\) (접점) 입니다.
4) 닫힌구간 \([-2, 1]\) 에서 \(x^3 - 3x + 2 = (x - 1)^2(x + 2) \ge 0\) 이므로 둘러싸인 도형의 넓이 \(S\)는 \[S = \int_{-2}^{1} (x^3 - 3x + 2)\,dx = \left[\dfrac{1}{4}x^4 - \dfrac{3}{2}x^2 + 2x\right]_{-2}^{1} = \left(\dfrac{1}{4} - \dfrac{3}{2} + 2\right) - (4 - 6 - 4) = \dfrac{3}{4} - (-6) = \dfrac{27}{4}\] 입니다.